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수학으로 읽는 과학/ 고수학전문학원 고지윤 원장피타고라스 음계로 보는 수열과 음악

하나. 콩을 먹어서는 안된다.

둘. 떨어진 물건은 주워 올리지 말라.
셋. 흰 수놈 새에게 손을 대지 말라.
넷. 빵을 뜯지 말라.
다섯. 빗장쇠를 타고 넘지 말라.
여섯. 쇠 고챙이로 불을 지피지 말라.
일곱. 통째로 음식을 먹지 말라.
여덟. 꽃 장식을 들지 말라.
아홉. 말 위에 앉지 말라.
열. 마음을 졸이지 말라.
열하나. 큰 길을 걷지 말라.
열둘. 제비에게 집의 처마를 빌려주지 말라.
열셋. 단지에서 불을 꺼낼 때 재에 형태를 남기지 말라.
열넷. 불 옆에서 거울을 보지 말라.
열 다섯. 침대에서 일어날 때는 몸의 자국이 남지 않도록 시트를 펴라.
(http://www.ko. wikipedia.org, 위키백과 ‘피타고라스’ 참고 및 정리)
한 종교 집단과 같은 조직의 지침이다. 심지어 채식을 해야하는 이 조직은 콩을 이용해서 숫자를 계산했고, 그래서 콩을 먹는 것조차 금지했다. 어떤 조직일까?
딩동댕~! 바로 피타고라스 학파다.
“만물의 근원은 수”라고 한 피타고라스를 못들어 본 사람을 없을 것이다. 이번 2020학년도 수능특강 표지도 피타고라스가 귀엽게 ‘피타고수스’라는 이름을 달고 초록색 바탕에 그려져 있다. 과연 수학자가 맞나? 산술, 음악, 기하학과 천문학에 능했던 피타고라스는 기원전 582년~ 기원전 497년경에 살았던 것으로 추정되는데, 그에관한 이야기는 대부분 그가 죽고 난 이후에 구두로 전해진 일화를 정리한 것으로 신뢰할만한 정보는 매우 드물다. 다만 피타고라스 학파라는 종교집단의 교주로, ‘피타고라스가 강을 건너자 강이 인사를 했다’, ‘피타고라스의 허벅지는 황금으로 되어 있다’, ‘피타고라스가 동시에 두 개의 장소에 나타났다’ 등의 일화로 매우 특이한 사람이라는 사실을 짐작할 수 있다. 
마치 고쌤처럼~^^

피타고라스 학파는 산술, 음악, 기하학, 천문학 순으로 학문의 서열을 정하기도 했는데, 그 만큼 ‘수’를 매우 중요하게 생각했다. 그리고 그 다음이 음악 산술, 기하, 천문학은 그렇다 하지만 ‘수’와 ‘음악’이라니? 우리가 미술작품 속에서 수학적 요소를 찾아보기도 했지만, 사실 음악은 그 태생이 수학에서 비롯하였다. 여러 악기들이 연주하는 방법은 다르지만 어떻게 같은 음계를 사용하고 있을까? 다양한 악기들이 합주를 할 수 있는 이유는 무엇일까? 화음이란 무엇일까? 오선지에 어떻게 음을 표시하지? 누가 음계를 만들었을까? 등등을 생각해보자. 수학과 밀접하게 연관이 있을 것 같지 않은가? 특히 ‘수’를 만물의 근원이라고 한 피타고라스 학파와 연결할 수 있는 무엇이 있을 것 같지 않은가?
피타고라스 학파에서 1은 모든 수의 기본이 되는 씨앗같은 존재로 여겼고, 2는 최초의 짝수이고 소신을 상징하였으며 3은 최초의 진정한 홀수이고 조화를 상징하였고, 4는 최초의 제곱수로 정의와 복수를 상징했다. 또한 짝수는 여성, 홀수는 남성으로 2+3=5는 결혼을, 6은 창조를 상징하고, 7은 일곱행성을 의미하는 것으로 경외의 수였다. 그 중에서도 10은 가장 신성한 수로 우주의 수를 상징했고, 모든 차원의 합을 의미했다. (Aczel A.A. 2000. Mystery of Aleph/ 신현용 2002, 무한의 신비, 서울: 승산) 피타고라스 학파는 산술로부터 수론을 분리하여 발달시키기도 했는데, 무엇보다 조화(Harmony)를 강조하여, 이 세상 모든 것은 자연수의 비로 나타낼 수 있다고 하였다. ‘수(Number)와 조화(Harmony)’가 피타고라스 음계를 탄생시킨 원리라고 하겠다.
피타고라스는 현의 길이를 절반으로 하면 한 옥타브 높은 음이 되고, ‘도’의 현의 길이를 2/3로 하면 5도 높은 음인 ‘솔’이 된다는 것을 발견하고 이를 차례로 되돌라가며 ‘도, 레, 미, 파, 솔, 라, 시, 도’의 음계를 만들었다. 음과 음사이의 현의 길이의 비를 정수의 비로 하여 만든 이 음계를 피타고라스 음계라고 부른다. 피타고라스 음계는 현의 길이의 비로 나타낸 음계로, 진동수와 반비례 관계임을 알 수 있다. 평균율 음계란 16세기경 유럽에서 처음 생겨났고 현재의 악기에 사용되는 음계로 기타 줄의 시작점에서 그 프렛까지의 길이를 6번 줄을 피아노 ‘도’음정에 맞추고 조사하면, 음정 사이의 비가 모두 약 0.94로 동일하다.

비를 구하면 모두 일정하며, 이런 수열을 ‘등비수열’이라 부른다. (일정한 비= 공비= 0.94)
재미있는 사실은, 현의 길이가 조화수열 (역수가 등차수열< 차가 일정한 수열>)을 이룬다는 것인데, 실제 위 표에서 보면, 도, 솔, 도가 각각 현의 길이가 1, 2/3, 1/2이고, 이 역수(진동수)는 각각 1, 2/3, 2 로 등차(차=1/2)인 등차수열이된다. 이 때 일정한 차의 크기를 ‘공차’라 부른다.
피타고라스는 길이를 1/3배 하고, 한옥타브가 그럼 올라가기 때문에 길이를 다시 2배하여 (길이를 두배로 하면 한 옥타브 아래의 음이 된다) 솔로 정하고, 같은 방법으로 1/5배하여 길이를 4배로 하여 두 옥타브 내린 음을 ‘미’로 하여 ‘도미솔’ 1도 화음을 만들었는데, 두 음정이 진동수(현의 길이의 역수)의 최소공배수가 작을 때 잘 어울리는 것을 발견하기도 하였다. 5도 화음에서 도, 솔과 4도 화음에서 도, 파가 잘 어울리는 이유는 무엇일까? 이들은 각각 진동수의 비가 2:3. 3:4로 작다. 하지만, 도와 라는 그 진동수의 비가 128:243으로 최소공배수는 128×243이나 되기 때문에 잘 어울리지 못하는 것이다. 

피타고라스 학파는 사람의 귀에 듣기 좋은 길이의 비가 2:3인 5도 음정만을 조합하여 하나의 음계를 만들었고 이것이 피타고라스 음계이다. 하지만, 한 옥타브 벗어날 때마다 매번 음계를 조율해야 하기 때문에 매우 사용하기에는 불편했고, 이를 보완한 것이 평균율로 역시 수학자 메르센(메르센 소수로 들어봤을 것이다)에 의해서 만들었으며, 수를 사랑한 음악가바흐에 의해 전해져 현재 우리가 사용하고 있는 음계가 되겠다. 오일러는, 음악을 시각화한 최초의 수학자이기도 하다. 이후 르랑스의 리사주는 소리굽쇠의 진동을 도형으로 표현하여 리사주 도형을 그리고 구성하고 있는 곡선들을 연구하여 리사주 공식을 만들었다.
이그 블랙번(Hugh Blackburn)은 하모노 그래프를 이용하여 단진자를 이용해 진동을 시각적으로 그려냈고, 이 하모노 그래프는 원리가 간단하여 쉽게 만들어 실험해 볼 수도 있다. 푸리에는 주파수별로 음정의 성분을 분해하고, 모든 음악의 소리를 사인함수들의 합으로 표시하여 지금의 음향학에 커다란 공헌을 하였다. 
바르토크(Bartok, Bela 1881~1945 헝가리 작곡가)는 클라이막스를 악보(곡)의 황금비 분할 지점에 위치하도록 하여 수학을 음악에 이용하기도 하였다. 음악을 최초로 과학적으로 연구한 피타고라스, 음악에 숨겨진, 수학의 비밀…, 정말 이 세상은 수학으로 이루어져 있지 않은가?  

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