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[칼럼] 페르마가 들려주는 정수이야기고수학전문학원 고지윤 원장

1729=13+123=93+103     1729=13×133

Hardy:“오늘 타고 온 택시 번호가 마음에 들지 않아. 1729는 13과 133을 곱한 값이자나. 13이라는 숫자가 반복되자나.”
Ramanujan : “아니에요 교수님, 1729는 아주 재미있는 수 입니다. 서로 다른 두 세제곱의 합으로 표현되는 가장 작은 자연수에요. 신기하고 재미있는 수입니다.”
수학 천재 라마누잔(Srinivasa Ramanujan, 1887-1920)이 건강이 악화되어 요양소를 찾아 스승인 하디(Godfrey Harold Hardy, 1877-1947)와 나눈 대화이다. 조금 더 수학적으로 호기심을 발휘해 보자. 두 세제곱의 합으로 표현되는 가장 작은 자연수. 그렇다면 두 네제곱의 합으로 표현되는 가장 작은 자연수는 얼마일까요? 아마도 굉장히 큰 수일 것이다. 이 신기한 자연수는 635318657이다. 
635318657=1334+1344=594+1584로 표현할 수 있다. 이 수를 발견한 사람은 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707-1783)로 수학, 기하학, 미적분학, 정수론 분야에 18세기 가장 영향력 있는 수학자로 꼽히는 분이다. 18세기를 오일러의 시대라고 부르기도 하는데, 시력을 잃고도 평생 560권이 넘는 책과 논문을 출간한 필자가 가장 존경하는 수학자이기도 하다. 
이번 시간에는 정수 특히 자연수에 관한 재미있는 성질들을 찾아보기로 하자. 하나하나 흥미를 갖고 기억한다면 훌륭한 배경지식으로 본인을 성장시키는데 긍정적인 힘을 발휘할 수 있을 것이다. ‘페르마가 들려주는 정수이야기(정완상, 자음과 모음)’에 숫자 ‘6’을 예로 완전수를 소개하고 있다. 6은 약수가 1,2,3,6으로 이 때 자기 자신 6을 제외한 1,2,3을 더하면 자기 자신 6과 같아진다. 이런 수를 완전수라고 한다. 12의 경우에는 1+2+3+4+6을 계산하면 16으로 자신 12보다 큰 수가 나오는데 이런 수를 ‘초과수’라고 하기도 하고 ‘과잉수’라고 부르기도 한다. 반대로 10 처럼 1+2+5=8로, 자신보다 작은 수가 나오는 경우 ‘부족수’라고 부른다. 그렇다면 또 어떠한 완전수들이 있을까? 몇 가지만 더 찾아보도록 하자.
6=1+2+3     28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064
이미 우리는 완전수가 갖고 있는 성질을 두 가지나 알게 되었다. 하나. 완전수는 모두 짝수라는 것, 둘. 완전수를 연속된 자연수의 합으로 나타낼 수 있다는 것. 사실 고대 그리스 사람들은 이 네 가지의 완전수밖에는 알지 못했고, 유클리드는 완전수를 구할 수 있는 공식(2(n-1) ×(2n-1)을 만들었는데, n은 언제나 소수이지만, 2n-1은 항상 소수인 것은 아니다. 특별히 여기에서 2n-1이 소수일때, 이 소수를 메르센 소수라고 부른다. 사실 홀수 형태의 완전수는 아직 발견되지 않았다. 
메르센 소수를 조금 더 생각해 보자. 2018년 12월 21일 GIMPS 프로젝트(Great Internet Mersenne Prime Search Project)에서 50번째 메르센 소수가 발견되었다. 메르센 소수가 무한히 많은 존재하는지는 아직 알려지지 않았으며, 현재까지 모두 50개의 메르센 소수가 발견되었다. 아래 표를 보면 메르센 소수를 발견한 순서대로 살펴볼 수 있는데, 46번째에서 51번째 메르센 소수 사이에 ※표시가 되어있는 것은 그 수 사이에 메르센 소수가 있는지는 아직 알려지지 않았다. 이렇게 표현하면 얼마나 큰 수인지 가늠이 가지 않는데, 예를들어 44번째 알려진 메르센 소수를 시각적으로 보여 주기 위해서는 1페이지 당, 10진수 75개 자리수의 숫자를 50줄씩 쓴 2,616페이지가 필요하다고 한다면 얼마나 큰 수인지 어느정도 가늠할 수 있을 것이다.
다음으로 소개할 소수는 쌍둥이 소수이다. 쌍둥이 소수는 p가 소수이면 P+2도 소수인 경우이다. 이 소수는 (3,5)를 제외하고는 모두(6K-1, 6K+1)의 형태를 갖고 있다. (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109)과 같은 수들이 쌍둥이 소수쌍이 될 수 있겠다.
천재 라마누잔은 32세의 나이로 세상을 떠났다. 지금은 한 명의 천재가 존재하기에는 힘든 시대라고 생각한다. 더군다나 라마누잔은 제대로 된 수학교육을 받지도 못했다. 대한민국처럼 강한 학제 시스템 속에서 라마누잔과 같은 천재가 나타날 수 있을까? 필자는 수학 멘토로서, 제자들에게 수학에 대한 호기심을 자극시키고, 탐구할 수 있도록 인지 디딤판 역할을 열심히 해야겠다고 다짐하며 이번 글을 마친다. 

편집국  sisanewsn@sisanewsn.co.kr

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